kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【强化篇】第6题（解答题） 6．设 $\boldsymbol{A}$ 为 3 阶矩阵，$\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个不同的特征值，其对应的特征向量为 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}, \boldsymbol{\alpha}= \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}, P=\left[\alpha, A \alpha, A^{2} \alpha\right]$ ． （1）证明 $\boldsymbol{p}$ 可逆； （2）若 $\left(A^{3}-A\right) \alpha=0$ ，求 $|A-3 E|$ 。
💡 答案解析
**答案**：（1）见解析；（2）$|A-3E|=-24$ **解析**： （1）步骤1：$\alpha=\xi_1+\xi_2+\xi_3$，$A\alpha=\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2+\lambda_3\xi_3$，$A^2\alpha=\lambda_1^2\xi_1+\lambda_2^2\xi_2+\lambda_3^2\xi_3$。 步骤2：$P=[\alpha, A\alpha, A^2\alpha]$，在基$\xi_1,\xi_2,\xi_3$下的矩阵为 $\left[\begin{array}{ccc}1 & \lambda_1 & \lambda_1^2 \\ 1 & \lambda_2 & \lambda_2^2 \\ 1 & \lambda_3 & \lambda_3^2\end{array}\right]$，此为范德蒙行列式，因$\lambda_i$互异，行列式非零，故$P$可逆。 （2）步骤1：由$(A^3-A)\alpha=0$得$A^3\alpha=A\alpha$，即$\lambda_1^3\xi_1+\lambda_2^3\xi_2+\lambda_3^3\xi_3 = \lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2+\lambda_3\xi_3$。 步骤2：由$\xi_i$线性无关，得$\lambda_i^3=\lambda_i$，即$\lambda_i(\lambda_i^2-1)=0$，故$\lambda_i=0,1,-1$。 步骤3：$A$的特征值为$0,1,-1$，则$A-3E$的特征值为$-3,-2,-4$，故$|A-3E|=(-3)\times(-2)\times(-4)=-24$。
**难度**：★★★★☆