kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $D=\left|\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right|, M_{3 j}$ 表示 $D$ 中第 3 行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,4)$ ，则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=(\quad)$. （A） 0 （B） 1 （C）-2 （D）-3
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$M_{3j}$为余子式，$A_{3j}=(-1)^{3+j}M_{3j}$为代数余子式。 步骤2：所求表达式$M_{31}+3M_{32}-2M_{33}+2M_{34}$可视为将$D$的第3行元素替换为$1,3,-2,2$后的行列式（注意符号：$M_{3j}=(-1)^{3+j}A_{3j}$，但直接构造： $M_{31}+3M_{32}-2M_{33}+2M_{34} = \left|\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 1 & 3 & -2 & 2 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right|$。 步骤3：计算该行列式，第三行与第一行成比例？第一行乘以1得$1,-3,1,-2$，第三行为$1,3,-2,2$，不成比例。直接计算： 将第三行减去第一行，得$(0,6,-3,4)$，再按第一列展开，得$1\times\left|\begin{array}{ccc}-5 & -2 & -2 \\ 6 & -3 & 4 \\ 9 & -6 & 7\end{array}\right| -2\times\left|\begin{array}{ccc}-3 & 1 & -2 \\ 6 & -3 & 4 \\ 9 & -6 & 7\end{array}\right| + \cdots$，计算得0。
**难度**：★★★★☆