kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【强化篇】第5题（选择题） 5．设 $\Lambda-\left[\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right], \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 为线性无关的 3 维列向量，$P$ 为 3 阶矩阵，且 $P A=\left[-\alpha_{1},-2 \alpha_{2}\right.$ ， $\left.-3 \alpha_{2}\right]$ ，则 $|P-E|-()$ 。 （A） 6 （B）-6 （C） 24 （D）-24
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由$PA=[-\alpha_1, -2\alpha_2, -3\alpha_3]$，且$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，故$P$在基$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$下的矩阵为$\operatorname{diag}(-1,-2,-3)$。 步骤2：$P-E$在相同基下的矩阵为$\operatorname{diag}(-2,-3,-4)$。 步骤3：$|P-E| = (-2)\times(-3)\times(-4) = -24$。
**难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定P在基α1,α2,α3下的矩阵
由PA=[-α1, -2α2, -3α3]且α1,α2,α3线性无关，可知P将α1映射到-α1，α2映射到-2α2，α3映射到-3α3，因此P在基α1,α2,α3下的矩阵为diag(-1,-2,-3)。
公式：P[α1,α2,α3] = [Pα1, Pα2, Pα3] = [-α1, -2α2, -3α3]
提示：注意线性无关保证基的合法性，矩阵表示唯一。
步骤 2/3
目标：计算P-E在相同基下的矩阵
P-E在基α1,α2,α3下的矩阵为diag(-1,-2,-3)减去单位矩阵diag(1,1,1)，得到diag(-2,-3,-4)。
公式：P-E对应矩阵 = diag(-1,-2,-3) - diag(1,1,1) = diag(-2,-3,-4)
提示：矩阵减法对应元素相减。
步骤 3/3
目标：计算行列式|P-E|
对角矩阵的行列式等于对角线元素乘积，故|P-E| = (-2)×(-3)×(-4) = -24。
公式：|diag(a,b,c)| = a*b*c
提示：注意符号计算。
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