kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n>1)$ 阶方阵，$i, j=1,2, \cdots, n, i \neq j$ ，互换 $\boldsymbol{A}$ 的第 $i$ 行与第 $j$ 行得到矩阵 $\boldsymbol{B}$ ，再互换 $\boldsymbol{B}$ 的第 $i$ 列与第 $j$ 列得到矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{C}$（）。 （A）等价，相似且合同 （B）等价，合同但不相似 （C）合同，相似但不等价 （D）等价，相似但不合同
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：互换$A$的第$i$行与第$j$行得到$B$，即$B=E_{ij}A$，其中$E_{ij}$是初等交换矩阵。 步骤2：再互换$B$的第$i$列与第$j$列得到$C$，即$C=BE_{ij}=E_{ij}AE_{ij}$。 步骤3：由于$E_{ij}$是正交矩阵（$E_{ij}^{-1}=E_{ij}^{\mathrm{T}}=E_{ij}$），故$C=E_{ij}AE_{ij}^{-1}$，即$A$与$C$相似。 步骤4：$C=E_{ij}AE_{ij}^{\mathrm{T}}$，且$E_{ij}$正交，故$A$与$C$合同。 步骤5：$A$与$C$等价（相似必等价）。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：用矩阵乘法表示行交换和列交换操作
互换A的第i行与第j行得到B，即B = E_{ij} A，其中E_{ij}是初等交换矩阵。再互换B的第i列与第j列得到C，即C = B E_{ij} = E_{ij} A E_{ij}。
公式：B = E_{ij} A, C = B E_{ij} = E_{ij} A E_{ij}
提示：注意左乘初等矩阵对应行变换，右乘对应列变换。
步骤 2/4
目标：判断相似性
由于E_{ij}是正交矩阵，满足E_{ij}^{-1} = E_{ij}^T = E_{ij}，因此C = E_{ij} A E_{ij} = E_{ij} A E_{ij}^{-1}，即A与C相似。
公式：C = E_{ij} A E_{ij}^{-1}
提示：相似要求存在可逆矩阵P使得C = P^{-1} A P，这里P = E_{ij}。
步骤 3/4
目标：判断合同性
由C = E_{ij} A E_{ij}，且E_{ij}正交，故E_{ij}^T = E_{ij}，所以C = E_{ij} A E_{ij}^T，即A与C合同。
公式：C = E_{ij} A E_{ij}^T
提示：合同要求存在可逆矩阵P使得C = P^T A P，这里P = E_{ij}。
步骤 4/4
目标：判断等价性
相似必等价，因为相似要求存在可逆矩阵P使得C = P^{-1} A P，这本身就是等价的一种形式（通过可逆变换）。
提示：等价是指存在可逆矩阵P、Q使得C = P A Q，这里P = E_{ij}, Q = E_{ij}。
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