kaoyan1basic 线性代数 第6题
📝 题目
### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{cccc}-1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}(\quad)$ 。 （A）不相似且不合同 （B）相似但不合同 （C）不相似但合同 （D）相似且合同
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：计算矩阵$A$的特征值。$A$是置换矩阵，特征值为$1$（三重）和$-1$（一重），但实际计算得$A$的特征值为$1,1,-1,-1$。 步骤2：计算矩阵$B$的特征值。$B$是对角矩阵，特征值为$-1,-1,1,1$。 步骤3：$A$与$B$特征值相同，但$A$不是实对称矩阵（$A$是对称的），$B$是对角矩阵，实对称矩阵相似当且仅当特征值相同且可对角化，$A$可对角化，故$A$与$B$相似。 步骤4：合同性：$A$与$B$的正惯性指数均为2，负惯性指数均为2，故合同。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算矩阵A的特征值
矩阵A是置换矩阵，通过计算特征多项式或观察其结构，得到特征值为1（二重）和-1（二重）。
公式：|A-λE|=0
提示：注意A是实对称矩阵，特征值均为实数。
步骤 2/4
目标：计算矩阵B的特征值
B是对角矩阵，特征值即对角线元素：-1, -1, 1, 1。
提示：对角矩阵的特征值直接读取。
步骤 3/4
目标：判断相似性
A和B特征值相同，且A是实对称矩阵，可对角化，因此A与B相似。
提示：实对称矩阵必可对角化，特征值相同则相似。
步骤 4/4
目标：判断合同性
计算正负惯性指数：A和B的正惯性指数均为2，负惯性指数均为2，因此合同。
提示：合同要求正负惯性指数相同，与特征值符号有关。
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