kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（选择题） 7．下列矩阵中，不能相似对角化的是（ ）。 （A）$\left[\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{lll}3 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 2\end{array}\right]$
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：矩阵可相似对角化当且仅当每个特征值的代数重数等于几何重数。 步骤2：选项A：对称矩阵，必可相似对角化。 步骤3：选项B：上三角矩阵，特征值为$3,2,0$，互异，可对角化。 步骤4：选项C：特征值为$2$（二重）和$1$。对于$\lambda=2$，$A-2E=\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & -1\end{pmatrix}$，秩为1，几何重数为$3-1=2$，等于代数重数，可对角化。 步骤5：选项D：下三角矩阵，特征值为$0,2,2$。对于$\lambda=2$，$A-2E=\begin{pmatrix}-2 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$，秩为2，几何重数为$3-2=1$，小于代数重数2，不可对角化。 **难度**：★★★☆☆