kaoyan1basic 线性代数 第6题

教材习题

📝 题目

### 【基础篇】第6题（选择题） 6．设 $A$ 为2阶方阵，$B$ 为 3 阶方阵，$|A|=2,|B|=3, C=\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{C}^{*}=()$ 。 （A）$\left[\begin{array}{cc}O & -3 A^{*} \\ -2 B^{*} & O\end{array}\right]$ （B）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 3 \boldsymbol{A}^{*} \\ 2 \boldsymbol{B}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ （C）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & -2 \boldsymbol{B}^{*} \\ -3 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$ （D）$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & 2 \boldsymbol{B}^{*} \\ 3 \boldsymbol{A}^{*} & \boldsymbol{O}\end{array}\right]$

💡 答案解析

**答案**：A **解析**：步骤1：$C$为5阶方阵，$|C|=(-1)^{2\times3}|A||B|=-2\times3=-6$。步骤2：$C^*=|C|C^{-1}$，$C^{-1}=\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]$。步骤3：$C^*=-6\left[\begin{array}{cc}O & B^{-1} \\ A^{-1} & O\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}O & -6B^{-1} \\ -6A^{-1} & O\end{array}\right]$。步骤4：$\displaystyle A^{-1}=\frac{A^*}{|A|}=\frac{A^*}{2}$，$\displaystyle B^{-1}=\frac{B^*}{|B|}=\frac{B^*}{3}$，代入得$C^*=\left[\begin{array}{cc}O & -2B^* \\ -3A^* & O\end{array}\right]$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：计算分块矩阵C的行列式
C为5阶方阵，由分块矩阵行列式公式，|C| = (-1)^{2×3} |A| |B| = (-1)^6 × 2 × 3 = -6。
公式：|C| = (-1)^{mn} |A| |B|，其中A为m阶，B为n阶
提示：注意符号(-1)^{mn}，m和n分别是左上和右下块阶数，但这里A在右上，B在左下，公式仍适用。
步骤 2/4
目标：求C的逆矩阵
利用分块矩阵求逆公式，对于形如[O A; B O]的矩阵，其逆为[O B^{-1}; A^{-1} O]。因此C^{-1} = [O, B^{-1}; A^{-1}, O]。
公式：若C = [O A; B O]，则C^{-1} = [O B^{-1}; A^{-1} O]
提示：注意分块矩阵求逆时，要确保A和B可逆，这里|A|≠0，|B|≠0，故可逆。
步骤 3/4
目标：利用伴随矩阵与逆矩阵关系求C*
伴随矩阵C* = |C| C^{-1} = -6 × [O, B^{-1}; A^{-1}, O] = [O, -6B^{-1}; -6A^{-1}, O]。
公式：C* = |C| C^{-1}
提示：伴随矩阵与逆矩阵的关系仅当矩阵可逆时成立。
步骤 4/4
目标：用A*和B*表示A^{-1}和B^{-1}
由A^{-1} = A*/|A| = A*/2，B^{-1} = B*/|B| = B*/3。代入得：-6A^{-1} = -6×(A*/2) = -3A*，-6B^{-1} = -6×(B*/3) = -2B*。因此C* = [O, -2B*; -3A*, O]。
公式：A^{-1} = A*/|A|
提示：注意伴随矩阵与逆矩阵的关系，代入时小心系数。

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