kaoyan1basic 线性代数 第5题
📝 题目
### 【基础篇】第5题（填空题） 5．设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 都是 3 阶矩阵，若 $|\boldsymbol{A}|=-3,|\boldsymbol{B}|=4, \boldsymbol{C}=\left[\begin{array}{cc}2 \boldsymbol{A}^{*} & (\boldsymbol{A} \boldsymbol{B})^{*} \\ \boldsymbol{O} & \boldsymbol{B}^{-1}\end{array}\right]$ ，则 $|\boldsymbol{C}|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{1}{6}$ **解析**：步骤1：$|C|=|2A^*|\cdot|B^{-1}|$，因为$C$为分块下三角矩阵。步骤2：$|2A^*|=2^3|A^*|=8|A|^{3-1}=8\times(-3)^2=72$。步骤3：$\displaystyle |B^{-1}|=\frac{1}{|B|}=\frac{1}{4}$。步骤4：$\displaystyle |C|=72\times\frac{1}{4}=18$。注意：$(AB)^*$位于右上角，不影响行列式值。更正：$C$为分块矩阵，$|C|=|2A^*|\cdot|B^{-1}|$，$|2A^*|=2^3|A^*|=8|A|^{2}=8\times9=72$，$|B^{-1}|=1/4$，故$|C|=18$。但需考虑$(AB)^*$项，实际上$C$不是分块三角矩阵，应使用公式$|C|=|2A^*|\cdot|B^{-1}|$，因为左下角为零。最终$\displaystyle |C|=72\times\frac{1}{4}=18$。重新计算：$|A|=-3$，$|A^*|=|A|^{2}=9$，$|2A^*|=2^3\times9=72$，$|B^{-1}|=1/4$，乘积为18。答案应为18。 **难度**：★★★☆☆