kaoyan1basic 线性代数 第4题
📝 题目
### 【基础篇】第4题（填空题） 4．已知 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ ，若 $(\boldsymbol{P A})^{2}=\boldsymbol{P A}, \boldsymbol{P}$ 为可逆矩阵，则 $\boldsymbol{P}=$ $\_\_\_\_$ .
💡 答案解析
**答案**：$\left[\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 1 & 0\end{array}\right]$ **解析**：步骤1：由$(PA)^2=PA$得$PAPA=PA$，左乘$P^{-1}$得$APA=A$，即$(AP-A)A=O$。步骤2：计算$A^2=\left[\begin{array}{cc}0&-1\\1&-1\end{array}\right]$，$A$可逆，$A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right]$。步骤3：由$APA=A$得$AP=E$，故$P=A^{-1}=\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right]$。但验证$(PA)^2=PA$，需$P$满足条件，解得$P=A$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由已知条件推导矩阵方程
由 $(PA)^2 = PA$ 得 $PAPA = PA$，左乘 $P^{-1}$ 得 $APA = A$，即 $(AP - A)A = O$。
公式：$(PA)^2 = PA \Rightarrow P^{-1}PAPA = P^{-1}PA \Rightarrow APA = A$
提示：注意可逆矩阵左乘不改变等式性质。
步骤 2/3
目标：计算矩阵A的幂和逆
计算 $A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$，由于 $|A| = 1 \neq 0$，$A$ 可逆，$A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$。
公式：$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, $A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$
提示：二阶矩阵求逆可用公式：$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$。
步骤 3/3
目标：求解矩阵P
由 $APA = A$ 且 $A$ 可逆，右乘 $A^{-1}$ 得 $AP = E$，故 $P = A^{-1} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$。但验证 $(PA)^2 = PA$ 时，需满足 $PA$ 为幂等矩阵，代入 $P = A^{-1}$ 得 $PA = E$，满足条件。然而题目答案给出 $P = A$，需检查：若 $P = A$，则 $PA = A^2$，而 $A^2$ 不是幂等矩阵（$(A^2)^2 \neq A^2$），故原解析有误。正确应为 $P = A^{-1}$。
公式：$AP = E \Rightarrow P = A^{-1}$
提示：注意验证条件，确保 $PA$ 是幂等矩阵。
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