kaoyan1basic 线性代数 第3题
📝 题目
### 【基础篇】第3题（填空题） 3．设 $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{llll}0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right], \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{2}+\boldsymbol{B}^{3}$ ，则 $\boldsymbol{A}^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$ **解析**：步骤1：计算$B$的幂次，$B$为4阶幂零矩阵，$B^2=\left[\begin{array}{cccc}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$, $B^3=\left[\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{array}\right]$, $B^4=O$。步骤2：则$A=E+B+B^2+B^3$，且$(E-B)A=E-B^4=E$，故$A^{-1}=E-B=\left[\begin{array}{cccc}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{array}\right]$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算B的幂次
B是4阶幂零矩阵，计算B^2, B^3, B^4。B^2 = [[0,0,1,0],[0,0,0,1],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]，B^3 = [[0,0,0,1],[0,0,0,0],[0,0,0,0],[0,0,0,0]]，B^4 = O。
公式：B^2 = \begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}, B^3 = \begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}, B^4 = O
提示：注意B的幂次每乘一次，非零对角线向右上移动一次。
步骤 2/3
目标：写出A的表达式并求逆
A = E + B + B^2 + B^3。注意到 (E-B)A = E - B^4 = E，所以A^{-1} = E - B。
公式：(E-B)A = E - B^4 = E \Rightarrow A^{-1} = E - B
提示：利用幂零矩阵的性质，几何级数求和公式的矩阵形式。
步骤 3/3
目标：计算E-B
E是4阶单位矩阵，B已知，所以E-B = [[1,-1,0,0],[0,1,-1,0],[0,0,1,-1],[0,0,0,1]]。
公式：E - B = \begin{bmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{bmatrix}
提示：直接相减即可。
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