kaoyan1basic 线性代数 第2题
📝 题目
### 【基础篇】第2题（填空题） 2．设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ ，则 $\boldsymbol{A}^{13}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]$ **解析**： 步骤1：计算$A^2$： $A^2 = \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1\end{array}\right]$。 步骤2：$A^4 = (A^2)^2 = \left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right] = E$。 步骤3：$A^{13} = A^{12}\cdot A = (A^4)^3 \cdot A = E^3 \cdot A = A$。 故$A^{13}=A$。
**难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算A的平方
计算A^2 = A * A，得到矩阵[[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,-1]]。
公式：A^2 = [[-1,0,0],[0,1,0],[0,0,-1]]
提示：矩阵乘法时注意对应元素相乘再相加。
步骤 2/3
目标：计算A的四次方
计算A^4 = (A^2)^2，得到单位矩阵E。
公式：A^4 = E
提示：对角矩阵的平方等于对角元素的平方。
步骤 3/3
目标：利用周期性求A^13
由于A^4 = E，所以A^13 = A^(12+1) = (A^4)^3 * A = E * A = A。
公式：A^13 = A
提示：指数模4余1，结果等于A本身。
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