kaoyan1basic 线性代数 第7题
📝 题目
### 【基础篇】第7题（填空题） 7．设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 4 & 5 & 1\end{array}\right]$ ，则 $\left|\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{B}^{\cdot}-\boldsymbol{A}^{\cdot} \boldsymbol{B}^{-1}\right|=$ $\_\_\_\_$ ，
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$A$为上三角矩阵，$|A|=1\times1\times3=3$；$B$为下三角矩阵，$|B|=1$。步骤2：$A^{-1}B^*-A^*B^{-1}=A^{-1}(|B|B^{-1})-(|A|A^{-1})B^{-1}=A^{-1}B^{-1}-3A^{-1}B^{-1}=-2A^{-1}B^{-1}$。步骤3：$\displaystyle |-2A^{-1}B^{-1}|=(-2)^3|A^{-1}||B^{-1}|=-8\times\frac{1}{3}\times1=-\frac{8}{3}$。注意：$B^*=|B|B^{-1}=B^{-1}$，$A^*=|A|A^{-1}=3A^{-1}$，故原式$=A^{-1}B^{-1}-3A^{-1}B^{-1}=-2A^{-1}B^{-1}$，行列式为$\displaystyle (-2)^3|A^{-1}||B^{-1}|=-8\times\frac{1}{3}\times1=-\frac{8}{3}$。但题目中$B^{\cdot}$可能表示$B^*$，答案应为$\displaystyle -\frac{8}{3}$。 **难度**：★★★☆☆