kaoyan1basic 线性代数 第17题
📝 题目
### 【基础篇】第17题（填空题） 17．设 $\boldsymbol{A}$ 是 4 阶矩阵，满足 $\boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{O}$ ，则 $r\left(\boldsymbol{A}^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$。
## 第2章 余子式和代数余子式的计算
💡 答案解析
**答案**：$0$ **解析**：步骤1：$A$为4阶矩阵，$A^2=O$，则$r(A)\leq2$。步骤2：若$r(A)<4-1=3$，则$A^*=O$，故$r(A^*)=0$。步骤3：当$r(A)=2$时，$A^*=O$；当$r(A)=1$时，$A^*=O$；当$r(A)=0$时，$A=O$，$A^*=O$。步骤4：综上，$r(A^*)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定矩阵A的秩的范围
由于A是4阶矩阵且A^2=O，则A是幂零矩阵，秩r(A)≤2。因为若r(A)≥3，则A^2≠O。
公式：r(A) ≤ n/2 对于n阶幂零矩阵，但这里直接由A^2=O可得r(A)≤2。
提示：幂零矩阵的秩不超过其阶数的一半。
步骤 2/4
目标：分析伴随矩阵的秩
对于n阶矩阵，若r(A) < n-1，则A* = O，从而r(A*)=0。这里n=4，n-1=3，而r(A)≤2<3，故A*=O。
公式：若r(A) < n-1，则A* = O。
提示：伴随矩阵的秩与矩阵秩的关系：r(A*)=n当r(A)=n；r(A*)=1当r(A)=n-1；r(A*)=0当r(A)
步骤 3/4
目标：验证所有可能的秩情况
当r(A)=2时，A*=O；当r(A)=1时，A*=O；当r(A)=0时，A=O，A*=O。因此无论哪种情况，r(A*)=0。
提示：注意A=O时，A*也是零矩阵。
步骤 4/4
目标：得出结论
综上，r(A*)=0。
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