kaoyan1basic 线性代数 第2题

教材习题

📝 题目

### 【强化篇】第2题（选择题） 2．下列矩阵中与矩阵 $\boldsymbol{M}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ 相似的是 ． $(\mathrm{A}) \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$ （B） $\boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{lll}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 3\end{array}\right]$ （C）$C=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0\end{array}\right]$ （D） $\boldsymbol{D}=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right]$

💡 答案解析

**答案**：C **解析**： 步骤1：矩阵$\boldsymbol{M}$的秩为1，特征值为$1,0,0$，且最小多项式有重根，Jordan标准形为$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$。 步骤2：选项C中矩阵$\boldsymbol{C}=\begin{bmatrix}1&0&0\\2&0&0\\3&0&0\end{bmatrix}$，秩为1，特征值$1,0,0$，且可对角化，与$\boldsymbol{M}$相似。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：分析矩阵M的性质
矩阵M的秩为1，特征值为1,0,0，且最小多项式无重根（因为M可对角化），Jordan标准形为diag(1,0,0)。
公式：秩=1，特征值λ=1,0,0，可对角化
提示：注意M的左上角元素为1，其余行全零，因此是秩1矩阵且可对角化。
步骤 2/3
目标：逐一检查各选项矩阵是否与M相似
相似矩阵有相同的秩、特征值及可对角化性质。检查各选项：A和B的秩为1，但特征值均为0,0,0，与M不同；C的秩为1，特征值为1,0,0，且可对角化；D的秩为2，特征值为1,0,0，但不可对角化。因此只有C与M相似。
公式：相似矩阵的秩、特征值、可对角化性相同
提示：计算特征值时注意矩阵的特殊结构，如行或列成比例。
步骤 3/3
目标：确认选项C与M相似
矩阵C = [[1,0,0],[2,0,0],[3,0,0]]，秩为1，特征值1,0,0，且可对角化（因为最小多项式为λ(λ-1)无重根），因此与M相似。
公式：C的特征多项式为λ^2(λ-1)，最小多项式λ(λ-1)
提示：可对角化矩阵的Jordan标准形是对角矩阵。

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