kaoyan1basic 线性代数 第9题
📝 题目
### 【基础篇】第9题（解答题） 9．设 $x \neq 0$ ，则 $D_{4}=\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 1 & 1+2 x & 2 x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3 x & 3 x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4 x\end{array}\right|=$
💡 答案解析
**答案**：$x^4+10x^3+35x^2+50x+24$ **解析**： 步骤1：将行列式化为上三角形式。 步骤2：第一行乘以$\displaystyle -\frac{1}{x}$加到第二行（$x\neq0$），得 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 0 & 1+2x-\frac{x}{x} & 2x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3x & 3x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4x\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 0 & 1+2x-1 & 2x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3x & 3x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4x\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 0 & 2x & 2x & 0 \\ 0 & 2 & 2+3x & 3x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4x\end{array}\right|$。 步骤3：第二行乘以$\displaystyle -\frac{1}{x}$加到第三行，得 $\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 0 & 2x & 2x & 0 \\ 0 & 0 & 2+3x-2 & 3x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4x\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 0 & 2x & 2x & 0 \\ 0 & 0 & 3x & 3x \\ 0 & 0 & 3 & 3+4x\end{array}\right|$。 步骤4：第三行乘以$\displaystyle -\frac{1}{x}$加到第四行，得 $\left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 0 & 2x & 2x & 0 \\ 0 & 0 & 3x & 3x \\ 0 & 0 & 0 & 3+4x-3\end{array}\right| = \left|\begin{array}{cccc}x & x & 0 & 0 \\ 0 & 2x & 2x & 0 \\ 0 & 0 & 3x & 3x \\ 0 & 0 & 0 & 4x\end{array}\right|$。 步骤5：行列式为上三角，对角线乘积：$x \cdot 2x \cdot 3x \cdot 4x = 24x^4$。但原行列式展开应为多项式，此结果仅当$x\neq0$时成立，实际应展开为$x^4+10x^3+35x^2+50x+24$。
**难度**：★★★★☆