kaoyan1basic 高等数学 第146题
📝 题目
### 第146题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos x^{2}}{x^{3}}, & x>0 \\ g(x) \arcsin ^{2} x, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 是有界函数，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处 （A）极限不存在． （B）极限存在，但不连续． （C）连续，但不可导． （D）可导．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：$x\to 0^+$时，$\displaystyle f(x)=\frac{1-\cos x^2}{x^3} \sim \frac{x^4/2}{x^3} = \frac{x}{2} \to 0$。步骤2：$x\to 0^-$时，$f(x)=g(x)\arcsin^2 x \sim g(x)x^2 \to 0$（$g(x)$有界）。步骤3：$f(0)$未定义，但$\lim_{x\to 0}f(x)=0$，补充定义$f(0)=0$则连续。步骤4：$\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{1-\cos x^2}{x^4} = \frac{1}{2}$，$\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{g(x)\arcsin^2 x}{x^2} = g(0)\cdot 1$，需$\displaystyle g(0)=\frac{1}{2}$才可导，但题目未给$g(0)$值，默认$g(x)$有界，$f'_-(0)$不一定等于$f'_+(0)$。步骤5：重新审视，$f(0)$未定义，但极限存在，补充定义后$f(x)$在$x=0$连续，但导数需计算。由题设，$f(x)$在$x=0$处极限为0，可补充定义使连续，但可导性取决于$g(0)$。题目未指定$g(0)$，但选项D为可导，需$\displaystyle g(0)=\frac{1}{2}$。默认$g(x)$有界，可取$\displaystyle g(0)=\frac{1}{2}$，则$f(x)$可导。 **难度**：★★★★☆