kaoyan1basic 高等数学 第145题
📝 题目
### 第145题 设 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 连续，则＂存在 $x_{n} \in[a,+\infty)$ ，有 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=+\infty$ 且 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_{n}\right)= \infty$＂是 $f(x)$ 在 $[a,+\infty)$ 无界的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充要条件． （D）既非充分又非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：若存在$x_n\to +\infty$使$f(x_n)\to \infty$，则$f(x)$无界，充分性成立。步骤2：反之不成立，例如$f(x)=x\sin x$无界，但不存在$x_n\to +\infty$使$f(x_n)\to \infty$（可取$x_n=2n\pi$使$f(x_n)=0$）。步骤3：因此是充分非必要条件。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断充分性
假设存在数列 $x_n \in [a, +\infty)$ 满足 $\lim_{n\to\infty} x_n = +\infty$ 且 $\lim_{n\to\infty} f(x_n) = \infty$。则对于任意 $M > 0$，存在 $N$ 使得当 $n > N$ 时 $|f(x_n)| > M$，因此 $f(x)$ 在 $[a, +\infty)$ 上无界。充分性成立。
提示：无界定义：对任意 $M>0$，存在 $x$ 使得 $|f(x)|>M$。
步骤 2/2
目标：判断必要性
考虑反例 $f(x) = x \sin x$。该函数在 $[a, +\infty)$ 上无界（取 $x = 2n\pi + \pi/2$ 时 $f(x) \to \infty$），但不存在数列 $x_n \to +\infty$ 使得 $f(x_n) \to \infty$。例如取 $x_n = 2n\pi$，则 $f(x_n)=0$；实际上任何趋于无穷的数列，其函数值可能振荡而不趋于无穷。因此必要性不成立。
提示：反例构造：振荡函数如 $x\sin x$ 或 $x\cos x$。
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