kaoyan1basic 高等数学 第148题
📝 题目
### 第148题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{g(x)-\mathrm{e}^{-x}}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $g(x)$ 二阶连续可导，且 $g(0)=1, g^{\prime}(0)=-1$ ，则 （A）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （B）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续． （C）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)-1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续． （D）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\frac{g^{\prime \prime}(0)+1}{2}$ ，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上不连续．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：$f(0)=0$，$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{g(x)-e^{-x}}{x^2}$。步骤2：由$g(0)=1, g'(0)=-1$，$\displaystyle g(x)=1-x+\frac{g''(0)}{2}x^2+o(x^2)$，$\displaystyle e^{-x}=1-x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$。步骤3：$\displaystyle g(x)-e^{-x} = \frac{g''(0)-1}{2}x^2+o(x^2)$，$\displaystyle f'(0)=\frac{g''(0)-1}{2}$。步骤4：$f'(x)$在$x\neq 0$时连续，且$\lim_{x\to 0} f'(x)=f'(0)$，故$f'(x)$在$(-\infty,+\infty)$上连续。 **难度**：★★★★☆