kaoyan1basic 高等数学 第149题
📝 题目
### 第149题 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$f(x)$在$x=0$可导，则$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$存在，令$t=x^2$，$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x^2)}{x^2}=\lim_{t\to 0^+}\frac{f(t)}{t}=f'(0)$，必要性成立。步骤2：反之不成立，例如$f(x)=\begin{cases}1, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ -1, & x<0\end{cases}$，$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{f(x^2)}{x^2}=1$存在，但$f(x)$在$x=0$不可导。步骤3：因此是必要非充分条件。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断必要性
若f(x)在x=0可导，则f'(0)=lim_{x→0} f(x)/x存在。令t=x^2，则当x→0时t→0^+，且lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{t→0^+} f(t)/t = f'(0)，因此极限存在，必要性成立。
公式：f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}
提示：注意x^2≥0，因此t只能趋于0^+，但导数存在时左右导数相等，故极限等于f'(0)。
步骤 2/3
目标：判断充分性
考虑反例：f(x)=1 (x>0), 0 (x=0), -1 (x<0)。则lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{x→0} 1/x^2 = +∞？实际上f(x^2)=1（因为x^2>0），所以极限为lim_{x→0} 1/x^2 = +∞，不存在。需修改反例：令f(x)=x (x≠0), f(0)=0，则lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{x→0} x^2/x^2 =1存在，但f(x)在x=0可导？实际上f(x)=x在0可导，导数为1。需要不可导的反例：令f(x)=|x|，则f(0)=0，lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{x→0} |x^2|/x^2 =1存在，但f(x)=|x|在x=0不可导。因此充分性不成立。
提示：反例需满足f(0)=0且极限存在但f(x)在0不可导，常用f(x)=|x|。
步骤 3/3
目标：得出结论
必要性成立，充分性不成立，因此是必要非充分条件，选B。
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