kaoyan1basic 高等数学 第150题
📝 题目
### 第150题 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ． 答题 区 ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(x)$以3为周期，$f(1+h)=f(1+h-3)=f(h-2)$，$f(1-3\tan h)=f(1-3\tan h-3)=f(-2-3\tan h)$。步骤2：原极限$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(h-2)-f(-2-3\tan h)}{h}$。步骤3：由导数定义，$f'(4)=1$，周期函数$f'(x+3)=f'(x)$，$f'(-2)=f'(4)=1$。步骤4：$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(h-2)-f(-2)}{h} = f'(-2)=1$，$\displaystyle \lim_{h\to 0} \frac{f(-2-3\tan h)-f(-2)}{h} = f'(-2)\cdot (-3\sec^2 0) = 1\cdot (-3) = -3$。步骤5：原极限$=1-(-3)=4$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用周期性简化函数表达式
由于f(x)以3为周期，有f(1+h)=f(1+h-3)=f(h-2)，f(1-3tan h)=f(1-3tan h-3)=f(-2-3tan h)。
公式：f(x+3)=f(x)
提示：注意周期为3，将自变量减去3的整数倍，使其接近-2。
步骤 2/5
目标：将极限转化为导数定义的形式
原极限化为lim_{h→0} [f(h-2)-f(-2-3tan h)]/h。
提示：观察分子两项的自变量，都接近-2。
步骤 3/5
目标：利用导数定义和周期性质求导数值
由f'(4)=1及周期性f'(x+3)=f'(x)，得f'(-2)=f'(4)=1。
公式：f'(x+3)=f'(x)
提示：周期函数的导数也是周期函数。
步骤 4/5
目标：分别计算两个极限
lim_{h→0} [f(h-2)-f(-2)]/h = f'(-2)=1；lim_{h→0} [f(-2-3tan h)-f(-2)]/h = f'(-2)·(-3sec^2 0) = 1·(-3) = -3。
公式：lim_{h→0} [f(a+φ(h))-f(a)]/h = f'(a)·φ'(0)
提示：注意复合函数求导法则，tan h的导数为sec^2 h。
步骤 5/5
目标：合并极限得到结果
原极限 = 1 - (-3) = 4。
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