kaoyan1basic 高等数学 第151题
📝 题目
### 第151题 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由可导定义，考虑导数定义式： $\displaystyle \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{x \to a} \frac{|x-a|g(x)}{x-a}$。 步骤2：分别考虑左右导数： 右导数：$\displaystyle \lim_{x \to a^+} \frac{(x-a)g(x)}{x-a} = g(a)$； 左导数：$\displaystyle \lim_{x \to a^-} \frac{-(x-a)g(x)}{x-a} = -g(a)$。 步骤3：可导要求左右导数相等，即 $g(a) = -g(a)$，故 $g(a)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用导数定义写出极限式
由可导定义，考虑导数定义式：lim_{x→a} [f(x)-f(a)]/(x-a) = lim_{x→a} |x-a|g(x)/(x-a)。
公式：f'(a)=lim_{x→a} [f(x)-f(a)]/(x-a)
提示：注意f(a)=0，因为|x-a|在x=a处为0。
步骤 2/3
目标：分别计算左右导数
右导数：lim_{x→a^+} (x-a)g(x)/(x-a)=g(a)；左导数：lim_{x→a^-} -(x-a)g(x)/(x-a)=-g(a)。
公式：右导数：g(a)；左导数：-g(a)
提示：当x→a^+时，|x-a|=x-a；当x→a^-时，|x-a|=-(x-a)。
步骤 3/3
目标：由可导条件得出方程
可导要求左右导数相等，即g(a)=-g(a)，解得g(a)=0。
公式：g(a) = -g(a) ⇒ g(a)=0
提示：左右导数相等是函数在该点可导的充要条件。
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