kaoyan1basic 高等数学 第152题
📝 题目
### 第152题 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ． （B）$n^{2} 3^{n-1}$ ． （C） $3^{n-2} n(n-1)$ ． （D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ． □
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：将 $f(x)=x^2 e^{3x}$ 展开为麦克劳林级数：$\displaystyle e^{3x}=\sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}x^n$，则 $\displaystyle f(x)=x^2 \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}x^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{3^n}{n!}x^{n+2}$。 步骤2：$x^n$ 的系数为 $\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，当 $n \ge 2$ 时，$x^n$ 项来自 $n-2$ 次项，系数为 $\displaystyle \frac{3^{n-2}}{(n-2)!}$，故 $\displaystyle \frac{f^{(n)}(0)}{n!} = \frac{3^{n-2}}{(n-2)!}$，解得 $f^{(n)}(0)=3^{n-2}n(n-1)$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将f(x)展开为麦克劳林级数
利用e^{3x}的麦克劳林展开式：e^{3x}=∑_{n=0}^∞ (3^n/n!) x^n，则f(x)=x^2 e^{3x}=x^2 ∑_{n=0}^∞ (3^n/n!) x^n = ∑_{n=0}^∞ (3^n/n!) x^{n+2}。
公式：e^{3x}=∑_{n=0}^∞ (3^n/n!) x^n
提示：注意x^2因子会改变幂次。
步骤 2/3
目标：找出x^n项的系数
在展开式中，x^n项对应n+2=m，即m=n-2，故x^n的系数为3^{n-2}/(n-2)!（当n≥2时）。
公式：f(x)=∑_{n=2}^∞ (3^{n-2}/(n-2)!) x^n
提示：n<2时f^{(n)}(0)=0。
步骤 3/3
目标：利用麦克劳林系数公式求解f^{(n)}(0)
麦克劳林系数公式：f^{(n)}(0)/n! = x^n的系数，所以f^{(n)}(0)/n! = 3^{n-2}/(n-2)!，解得f^{(n)}(0)=3^{n-2} n!/(n-2)! = 3^{n-2} n(n-1)。
公式：f^{(n)}(0)/n! = 系数
提示：n!/(n-2)! = n(n-1)。
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