kaoyan1basic 高等数学 第153题
📝 题目
### 第153题 设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是 （A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ． （C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ． （D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$|f(x)|$ 在 $x=a$ 处不可导的充要条件是 $f(a)=0$ 且 $f'(a) \neq 0$，此时左右导数分别为 $\pm |f'(a)|$，不相等。 步骤2：若 $f(a)=0$ 且 $f'(a)=0$，则 $|f(x)|$ 可导；若 $f(a) \neq 0$，则 $|f(x)|$ 在 $x=a$ 处可导。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析函数|f(x)|在x=a处可导的条件
设g(x)=|f(x)|。若f(a)≠0，则存在邻域内f(x)保持同号，此时g(x)=±f(x)，可导。若f(a)=0，则g(x)在x=a处的左右导数分别为lim_{x→a^-} (|f(x)|-0)/(x-a)和lim_{x→a^+} (|f(x)|-0)/(x-a)。由于f(x)在a处可导，f(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)，故|f(x)|=|f'(a)(x-a)+o(x-a)|。当f'(a)=0时，|f(x)|=o(|x-a|)，左右导数均为0，可导；当f'(a)≠0时，左右导数分别为-|f'(a)|和|f'(a)|，不相等，不可导。
公式：|f(x)|在x=a处可导的充要条件：f(a)≠0或(f(a)=0且f'(a)=0)
提示：注意绝对值函数在零点处可能产生尖点，导致不可导。
步骤 2/2
目标：判断选项
选项A：f(a)=0且f'(a)=0，此时|f(x)|可导，排除。选项B：f(a)=0且f'(a)≠0，此时|f(x)|不可导，符合。选项C和D：f(a)>0或<0，此时|f(x)|可导，排除。
提示：直接应用充要条件判断。
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