kaoyan1basic 高等数学 第154题
📝 题目
### 第154题 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导。 （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对。
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：仅知导数的左右极限相等，不能保证 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，例如 $f(x)=\begin{cases}0, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{cases}$，其导数在 $x=0$ 左右极限均为0，但 $f$ 不连续。 步骤2：因此A、B、C均不一定成立，故选D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析已知条件
已知导函数在x0处的左右极限存在且相等，均为a。但仅凭此条件，无法直接推出f(x)在x0处的连续性和可导性。
提示：注意：导数的极限存在不能保证原函数在该点连续，因为原函数可能在该点有定义但间断。
步骤 2/3
目标：构造反例
考虑函数f(x)=0当x≠0，f(0)=1。则当x≠0时，f'(x)=0，因此lim_{x→0+} f'(x)=lim_{x→0-} f'(x)=0，但f(x)在x=0处不连续，从而不可导。
提示：反例中，原函数在x0处有定义但间断，导致导数不存在。
步骤 3/3
目标：判断选项
A选项错误，因为f(x)可能不可导；B选项错误，因为f(x)可能不连续；C选项错误，因为f(x)可能没有极限（如反例中极限为0但函数值为1，极限存在但函数不连续，但C说必有极限，实际上反例中极限存在，但C说“未必连续”，反例中极限存在且不连续，但C表述为“必有极限但未必连续”，反例符合，但题目要求判断是否一定成立，由于存在反例使A、B、C均不成立，故D正确。
提示：注意C选项：必有极限但未必连续。反例中极限存在，但函数不连续，所以C本身可能成立，但题目问的是“则”，即由条件能否推出结论，由于条件不能保证极限存在（例如函数在x0处无定义时极限可能不存在），所以C不一定成立。
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