kaoyan1basic 高等数学 第155题
📝 题目
### 第155题 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$ （A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． □
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：令 $u=x+t$，则 $t=u-x$，$dt=du$，当 $t=-x$ 时 $u=0$，当 $t=0$ 时 $u=x$，故 $g(x)=\int_0^x t f(u) du$ 中的 $t$ 需用 $u$ 表示：$t=u-x$，得 $g(x)=\int_0^x (u-x) f(u) du = \int_0^x u f(u) du - x \int_0^x f(u) du$。 步骤2：求导得 $g'(x)=x f(x) - \int_0^x f(u) du - x f(x) = -\int_0^x f(u) du$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：化简g(x)表达式
令 u = x + t，则 t = u - x，dt = du。当 t = -x 时 u = 0；当 t = 0 时 u = x。代入得 g(x) = ∫_0^x (u - x) f(u) du = ∫_0^x u f(u) du - x ∫_0^x f(u) du。
公式：g(x) = ∫_0^x u f(u) du - x ∫_0^x f(u) du
提示：注意积分限变换和变量替换
步骤 2/2
目标：对g(x)求导
对 g(x) 求导：g'(x) = x f(x) - ∫_0^x f(u) du - x f(x) = -∫_0^x f(u) du。
公式：g'(x) = -∫_0^x f(u) du
提示：利用乘积法则和积分上限求导公式
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