kaoyan1basic 高等数学 第157题
📝 题目
### 第157题 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ） （A）有界函数． （B）有极值． （C）单调增函数． （D）单调减函数．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle g'(x) = \frac{-f'(x) x - (1-f(x))}{x^2} = \frac{-x f'(x) - 1 + f(x)}{x^2}$。 步骤2：由 $f(0)=0$ 及拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (0,x)$ 使 $f(x)=f'(\xi)x$，且 $f'$ 严格增，故 $f'(\xi) < f'(x)$，从而 $f(x) < x f'(x)$。 步骤3：代入得 $-x f'(x) - 1 + f(x) < -1 < 0$，故 $g'(x)<0$，$g(x)$ 单调减。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数 g'(x)
对 g(x) = (1-f(x))/x 求导，使用商法则：g'(x) = [(-f'(x)) * x - (1-f(x)) * 1] / x^2 = (-x f'(x) - 1 + f(x)) / x^2。
公式：g'(x) = \frac{-x f'(x) - 1 + f(x)}{x^2}
提示：注意商法则中分母的平方，以及分子中负号的处理。
步骤 2/3
目标：利用已知条件分析分子符号
由 f(0)=0 及拉格朗日中值定理，存在 ξ∈(0,x) 使得 f(x)=f'(ξ)x。由于 f'(x) 严格单调增，有 f'(ξ) < f'(x)，从而 f(x) = f'(ξ)x < f'(x)x，即 f(x) - x f'(x) < 0。因此分子 -x f'(x) - 1 + f(x) = (f(x) - x f'(x)) - 1 < -1 < 0。
公式：f(x) = f'(\xi)x, \quad f'(\xi) < f'(x) \Rightarrow f(x) < x f'(x)
提示：拉格朗日中值定理的应用：f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)。
步骤 3/3
目标：判断 g'(x) 的符号
由于分子小于0，分母 x^2 > 0，所以 g'(x) < 0 对所有 x>0 成立，因此 g(x) 在 (0,+∞) 上单调递减。
提示：导数小于0则函数单调递减。
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