kaoyan1basic 高等数学 第158题
📝 题目
### 第158题 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得 （A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升． （B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ． （C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ． （D）$f(x)
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由导数定义 $\displaystyle f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$，由极限保号性，存在 $\delta>0$，当 $x \in (x_0, x_0+\delta)$ 时，$\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$，故 $f(x) > f(x_0)$。 步骤2：当 $x \in (x_0-\delta, x_0)$ 时，$x-x_0<0$，则 $f(x)-f(x_0)<0$，即 $f(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用导数定义和极限保号性
由导数定义，$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$。根据极限保号性，存在 $\delta>0$，使得当 $x \in (x_0, x_0+\delta)$ 时，$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$。由于 $x-x_0>0$，故 $f(x)-f(x_0)>0$，即 $f(x)>f(x_0)$。
公式：$f'(x_0)=\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
提示：注意极限保号性：若极限大于0，则存在邻域内函数值大于0。
步骤 2/3
目标：分析左侧邻域情况
当 $x \in (x_0-\delta, x_0)$ 时，$x-x_0<0$，由保号性知 $\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$，但分母为负，故分子 $f(x)-f(x_0)<0$，即 $f(x)
公式：无
提示：注意分母符号对不等式方向的影响。
步骤 3/3
目标：判断选项
选项A错误，因为导数大于0只能保证局部单调，但不能保证整个邻域单调（反例：$f(x)=x+2x^2\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处导数为1，但任何邻域内不单调）。选项B错误，因为左侧邻域 $f(x)f(x_0)$。选项D错误，应为左侧邻域。
公式：无
提示：导数大于0不能推出邻域内单调递增，只能推出右侧大于、左侧小于。
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