kaoyan1basic 高等数学 第162题
📝 题目
### 第162题 设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有定义，则下述命题中正确的是 （A）若 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且单调增加，则对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ ，都有 $f^{\prime}(x)>0$ ． （B）若 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处取得极值，则 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ． （C）若 $f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0$ ，则 $\left(x_{0}, f\left(x_{0}\right)\right)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点坐标． （D）若 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime}\left(x_{0}\right)=0, f^{\prime \prime \prime}\left(x_{0}\right) \neq 0$ ，则 $x_{0}$ 一定不是 $f(x)$ 的极值点．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：A反例：$f(x)=x^3$ 单调增，但 $f'(0)=0$。 步骤2：B反例：$f(x)=|x|$ 在 $x=0$ 处取极值但不可导。 步骤3：C反例：$f(x)=x^4$，$f''(0)=0$ 但 $(0,0)$ 不是拐点。 步骤4：D正确：若 $f'(x_0)=0$，$f''(x_0)=0$，$f'''(x_0) \neq 0$，则 $x_0$ 为拐点横坐标，不是极值点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析选项A
考虑反例 f(x)=x^3，在(-∞,+∞)上可导且单调增加，但 f'(0)=0，不满足 f'(x)>0 对一切 x 成立，故A错误。
公式：f'(x)=3x^2
提示：单调递增不一定导数处处大于0，可能在某些点导数为0。
步骤 2/4
目标：分析选项B
考虑反例 f(x)=|x|，在 x=0 处取得极小值，但 f'(0) 不存在，故B错误。
提示：极值点不一定可导，可导时才有 f'(x0)=0。
步骤 3/4
目标：分析选项C
考虑反例 f(x)=x^4，f''(x)=12x^2，f''(0)=0，但 (0,0) 不是拐点（因为 f''(x) 在 x=0 两侧同号），故C错误。
公式：f''(x)=12x^2
提示：f''(x0)=0 是拐点的必要条件，非充分。
步骤 4/4
目标：分析选项D
若 f'(x0)=0，f''(x0)=0，f'''(x0)≠0，则 x0 是拐点横坐标，不是极值点。例如 f(x)=x^3 在 x=0 处满足条件，且不是极值点。故D正确。
公式：f'''(x0)≠0 表明 f''(x) 在 x0 处变号
提示：三阶导数不为零时，一阶、二阶导数为零的点是拐点而非极值点。
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