kaoyan1basic 高等数学 第163题
📝 题目
### 第163题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，$f(a)=\max _{[a, b]} f(x)$ ，则 （A）$f_{+}^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f_{+}^{\prime}(a) \geqslant 0$ ． （C）$f_{+}^{\prime}(a)<0$ ． （D）$f_{+}^{\prime}(a) \leqslant 0$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$f(a)$ 为最大值，则对任意 $x \in [a,b]$，$f(x) \le f(a)$，故 $f(x)-f(a) \le 0$。 步骤2：右导数 $\displaystyle f'_+(a)=\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$，分母 $x-a>0$，分子 $\le 0$，故极限 $\le 0$，即 $f'_+(a) \le 0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用最大值条件得到不等式
因为 f(a) 是 [a,b] 上的最大值，所以对任意 x∈[a,b]，有 f(x) ≤ f(a)，即 f(x)-f(a) ≤ 0。
公式：f(x) ≤ f(a)
提示：注意最大值定义：f(a) ≥ f(x) 对所有 x∈[a,b] 成立。
步骤 2/2
目标：写出右导数定义并分析符号
右导数定义为 f'_+(a) = lim_{x→a^+} [f(x)-f(a)]/(x-a)。由于 x→a^+ 时，分母 x-a > 0，分子 f(x)-f(a) ≤ 0，因此分式 ≤ 0，取极限后仍 ≤ 0，故 f'_+(a) ≤ 0。
公式：f'_+(a) = lim_{x→a^+} [f(x)-f(a)]/(x-a)
提示：极限保号性：若数列或函数项非正，则极限非正。
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