kaoyan1basic 高等数学 第164题
📝 题目
### 第164题 数列 $1, \sqrt{2}, \sqrt[3]{3}, \cdots, \sqrt[n]{n}, \cdots$ 的最大项为 （A）$\sqrt{2}$ ． （B）$\sqrt[3]{3}$ ． （C）$\sqrt[4]{4}$ ． （D）$\sqrt[5]{5}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：考虑函数 $f(x)=\sqrt[x]{x}=x^{1/x}$，$x>0$，取对数 $\displaystyle \ln f(x)=\frac{\ln x}{x}$，求导得 $\displaystyle f'(x)=f(x)\cdot \frac{1-\ln x}{x^2}$。 步骤2：令 $f'(x)=0$ 得 $x=e$，当 $x
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将数列通项转化为函数，便于分析单调性
考虑函数 f(x)=x^(1/x)，x>0，取自然对数得 ln f(x)=ln x / x。
公式：f(x)=x^{1/x}, ln f(x)=ln x / x
提示：取对数可将指数函数转化为乘积形式，简化求导。
步骤 2/3
目标：求导确定函数极值点
对 ln f(x) 求导得 f'(x)/f(x) = (1 - ln x)/x^2，故 f'(x)=f(x)*(1-ln x)/x^2。令 f'(x)=0 得 x=e。当 x0，函数递增；x>e 时 f'(x)<0，函数递减。因此 f(x) 在 x=e 处取得最大值。
公式：f'(x)=f(x)*(1-ln x)/x^2
提示：注意 f(x)>0，导数符号由 (1-ln x) 决定。
步骤 3/3
目标：比较数列中接近 e 的项，找出最大项
数列对应 n=2,3,4,5 等，其中 n=3 最接近 e。计算近似值：√2≈1.414，∛3≈1.442，∜4≈1.414，5√5≈1.380。比较得 ∛3 最大。
公式：无
提示：由于函数在 e 处最大，数列中离 e 最近的整数项即为最大项。
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