kaoyan1basic 高等数学 第165题
📝 题目
### 第165题 设 $f(x)=a x^{3}-6 a x^{2}+b$ 在区间 $[-1,2]$ 上的最大值是 3 ，最小值是 -29 ，且 $a>0$ ，则 （A）$a=2, b=-29$ ． （B）$a=3, b=2$ ． （C）$a=2, b=3$ ． （D）以上都不对．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)$，在 $[-1,2]$ 上，驻点为 $x=0$（$x=4$ 不在区间内）。 步骤2：计算端点与驻点值：$f(-1)=-a-6a+b=-7a+b$，$f(0)=b$，$f(2)=8a-24a+b=-16a+b$。 步骤3：$a>0$，比较得最大值在 $x=0$ 处 $b$，最小值在 $x=2$ 处 $-16a+b$。由条件 $b=3$，$-16a+3=-29$，解得 $a=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求导数并找出驻点
对函数 f(x)=ax^3-6ax^2+b 求导，得 f'(x)=3ax^2-12ax=3ax(x-4)。在区间 [-1,2] 上，令 f'(x)=0，解得 x=0（x=4 不在区间内），因此驻点为 x=0。
公式：f'(x)=3ax(x-4)
提示：注意驻点必须在给定区间内才考虑。
步骤 2/4
目标：计算端点与驻点的函数值
计算 f(-1)=a*(-1)^3-6a*(-1)^2+b = -a-6a+b = -7a+b；f(0)=b；f(2)=a*8-6a*4+b = 8a-24a+b = -16a+b。
公式：f(-1)=-7a+b, f(0)=b, f(2)=-16a+b
提示：代入时注意符号。
步骤 3/4
目标：比较函数值确定最值
由于 a>0，比较三个值：-16a+b < -7a+b < b。因此最大值是 b，最小值是 -16a+b。根据题意，最大值是3，最小值是-29，所以 b=3，-16a+b=-29。
公式：b=3, -16a+3=-29
提示：利用 a>0 判断大小关系。
步骤 4/4
目标：解方程求参数
由 -16a+3=-29 得 -16a=-32，解得 a=2。因此 a=2, b=3。
公式：a=2, b=3
提示：注意检查 a>0 条件成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。