kaoyan1basic 高等数学 第166题
📝 题目
### 第166题 曲线 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}(a>0)\right.$ 在参数 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$ 对应的点处的曲率为 （A）$\displaystyle \frac{2 \sqrt{2}}{a}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{a}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2} a}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{2} a}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：计算一阶导数： $\displaystyle \frac{dx}{dt}=a(1-\cos t),\quad \frac{dy}{dt}=a\sin t$， 则 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t}$。 步骤2：计算二阶导数： $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}}=\frac{\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin^2 t}{(1-\cos t)^2}}{a(1-\cos t)}=\frac{-1}{a(1-\cos t)^2}$。 步骤3：曲率公式 $\displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+(y')^2)^{3/2}}$，代入 $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}$： $\displaystyle y'=1,\; y''=-\frac{1}{a}$， $\displaystyle K=\frac{1/a}{(1+1)^{3/2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}a}$。 **难度**：★★☆☆☆