kaoyan1basic 高等数学 第167题
📝 题目
### 第167题 以下四个命题中，正确的是 （A）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （B）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （C）若 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． （D）若 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $(a, b)$ 内有界． □
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：若 $f'(x)$ 在 $(a,b)$ 内有界，则存在常数 $M$ 使得 $|f'(x)|\le M$，由拉格朗日中值定理，对任意 $x,x_0\in(a,b)$ 有 $|f(x)-f(x_0)|\le M|x-x_0|$，从而 $f(x)$ 有界。 步骤2：反例：$\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$ 内连续但无界，排除B；$f'(x)$ 连续但 $f(x)$ 无界（如 $f(x)=\ln x$ 在 $(0,1)$），排除A；$f(x)$ 有界不能推出 $f'(x)$ 有界（如 $\displaystyle f(x)=\sin\frac{1}{x}$ 在 $(0,1)$），排除D。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析选项C的正确性
若f'(x)在(a,b)内有界，则存在常数M使得|f'(x)|≤M。由拉格朗日中值定理，对任意x,x0∈(a,b)，有|f(x)-f(x0)|≤M|x-x0|，从而f(x)有界。
公式：拉格朗日中值定理：|f(x)-f(x0)| = |f'(ξ)||x-x0| ≤ M|x-x0|
提示：利用导数有界和拉格朗日中值定理证明函数有界。
步骤 2/2
目标：排除其他选项
选项A：反例f(x)=ln x在(0,1)内f'(x)=1/x连续但f(x)无界；选项B：反例f(x)=1/x在(0,1)内连续但无界；选项D：反例f(x)=sin(1/x)在(0,1)内有界但导数无界。
提示：构造反例时注意区间端点处函数的性质。
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