kaoyan1basic 高等数学 第171题
📝 题目
### 第171题 设曲线 $y=\sqrt[3]{x-4}$ ，则 （A）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ 。 （B）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，拐点为 $(4,0)$ ． （C）曲线的凸区间为 $(-\infty, 4)$ ，凹区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． （D）曲线的凹区间为 $(-\infty, 4)$ ，凸区间为 $(4,+\infty)$ ，无拐点． 172函数 $f(x)=3 \arccos x-\arccos \left(3 x-4 x^{3}\right)$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right]$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$y=(x-4)^{1/3}$，$\displaystyle y'=\frac{1}{3}(x-4)^{-2/3}$，$\displaystyle y''=-\frac{2}{9}(x-4)^{-5/3}$。 步骤2：当 $x<4$ 时，$y''>0$，曲线凹；当 $x>4$ 时，$y''<0$，曲线凸。 步骤3：$x=4$ 时 $y=0$，且 $y''$ 变号，故拐点为 $(4,0)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求一阶导数和二阶导数
将曲线方程写为 y = (x-4)^{1/3}，求导得 y' = (1/3)(x-4)^{-2/3}，再求导得 y'' = -(2/9)(x-4)^{-5/3}。
公式：y' = \frac{1}{3}(x-4)^{-2/3}, y'' = -\frac{2}{9}(x-4)^{-5/3}
提示：注意幂函数求导法则，指数为分数时同样适用。
步骤 2/3
目标：判断凹凸区间
分析二阶导数符号：当 x<4 时，(x-4)^{-5/3} 为正，故 y'' = -(2/9) * 正数 < 0，曲线凸；当 x>4 时，(x-4)^{-5/3} 为负，故 y'' = -(2/9) * 负数 > 0，曲线凹。因此凸区间为 (-∞,4)，凹区间为 (4,+∞)。
公式：y'' < 0 时曲线凸，y'' > 0 时曲线凹
提示：注意 (x-4)^{-5/3} 在 x<4 时为正，x>4 时为负，因为负数的奇次方根为负。
步骤 3/3
目标：确定拐点
在 x=4 处，y=0，且二阶导数在该点不存在（分母为零），但左右两侧二阶导数符号相反，故 (4,0) 为拐点。
公式：拐点处二阶导数为零或不存在，且左右符号相反
提示：拐点可能出现在二阶导数不存在的点，需检查该点两侧凹凸性是否改变。
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