kaoyan1basic 高等数学 第173题
📝 题目
### 第173题 设 $f(x)$ 在 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内存在导数，$f^{\prime}(x)$ 单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则 （A）在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g(1)=0$，$g'(x)=f'(x)-1$。 步骤2：由 $f'(x)$ 单调减少且 $f'(1)=1$，则 $x<1$ 时 $f'(x)>1$，$g'(x)>0$，$g(x)<0$ 即 $f(x)
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：构造辅助函数并求导
令 g(x)=f(x)-x，则 g(1)=f(1)-1=0，g'(x)=f'(x)-1。
公式：g(x)=f(x)-x, g'(x)=f'(x)-1
提示：构造差函数是处理函数不等式问题的常用方法。
步骤 2/3
目标：利用导数单调性分析符号
由于 f'(x) 单调减少且 f'(1)=1，当 x<1 时，f'(x)>f'(1)=1，故 g'(x)=f'(x)-1>0；当 x>1 时，f'(x)
公式：f'(x) 单调减 ⇒ x<1 时 f'(x)>1, x>1 时 f'(x)<1
提示：注意单调性定义：若函数单调减，则自变量小函数值大。
步骤 3/3
目标：判断 g(x) 的符号
由 g(1)=0 及 g'(x) 的符号：在 (1-δ,1) 内 g'(x)>0，故 g(x) 递增，又 g(1)=0，所以 g(x)<0；在 (1,1+δ) 内 g'(x)<0，故 g(x) 递减，又 g(1)=0，所以 g(x)<0。因此 f(x)-x<0，即 f(x)
公式：g(x) 单调性及端点值
提示：利用单调性判断函数值范围：递增时，小于端点值；递减时，也小于端点值。
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