kaoyan1basic 高等数学 第174题
📝 题目
### 第174题 曲线 $\displaystyle y=\frac{x^{2}+1}{\sqrt{x^{2}-1}}$ （A）既有垂直又有水平与斜渐近线． （B）仅有垂直渐近线． （C）只有垂直与水平渐近线。 （D）只有垂直与斜渐近线。
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：分母为零的点 $x=\pm1$，$x\to1$ 时 $y\to\infty$，有垂直渐近线 $x=1$（$x=-1$ 不在定义域内）。 步骤2：$\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{y}{x}=1$，$\lim_{x\to\infty}(y-x)=0$，有斜渐近线 $y=x$。 步骤3：无水平渐近线。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定定义域和可能的垂直渐近线
分母为零的点为 x=±1，但 x=-1 不在定义域内（根号内需 x^2-1>0，即 x<-1 或 x>1），因此只考虑 x→1 时，y→∞，有垂直渐近线 x=1。
公式：x=1
提示：检查分母为零的点是否在定义域内。
步骤 2/3
目标：检查水平渐近线
计算 lim_{x→∞} y = lim_{x→∞} (x^2+1)/√(x^2-1) = ∞，无水平渐近线。
公式：lim_{x→∞} y = ∞
提示：水平渐近线要求极限为有限常数。
步骤 3/3
目标：检查斜渐近线
计算斜率 k = lim_{x→∞} y/x = lim_{x→∞} (x^2+1)/(x√(x^2-1)) = 1；截距 b = lim_{x→∞} (y - kx) = lim_{x→∞} ( (x^2+1)/√(x^2-1) - x ) = 0，故有斜渐近线 y=x。
公式：k=1, b=0, 渐近线 y=x
提示：斜渐近线存在条件：k 存在且非零，b 存在。
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