kaoyan1basic 高等数学 第175题
📝 题目
### 第175题 函数 $f(x)=3 \ln x-x$ （A）没有零点． （B）有 1 个零点． （C）有 2 个零点． （D）有 3 个零点．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\displaystyle f'(x)=\frac{3}{x}-1$，驻点 $x=3$。 步骤2：$f(3)=3\ln3-3>0$，$\lim_{x\to0^+}f(x)=-\infty$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$，由零点定理，有两个零点。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求导数并找到驻点
对函数 f(x)=3ln x - x 求导，得 f'(x)=3/x - 1。令 f'(x)=0，解得 x=3。
公式：f'(x)=3/x - 1
提示：注意定义域为 x>0。
步骤 2/3
目标：分析函数在驻点处的函数值及端点极限
计算 f(3)=3ln3 - 3 > 0（因为 ln3≈1.0986，3ln3≈3.2958，减3得0.2958>0）。当 x→0+ 时，lnx→-∞，所以 f(x)→-∞；当 x→+∞ 时，lnx 增长慢于 x，所以 f(x)→-∞。
公式：f(3)=3ln3-3>0
提示：利用极限判断函数在区间端点的趋势。
步骤 3/3
目标：应用零点定理判断零点个数
由于 f(x) 在 (0,3) 上连续，且 lim_{x→0+} f(x)=-∞，f(3)>0，由零点定理，在 (0,3) 内至少有一个零点。同理，在 (3,+∞) 上，f(3)>0，lim_{x→+∞} f(x)=-∞，所以至少有一个零点。又因为 f(x) 在 (0,3) 和 (3,+∞) 上分别单调（导数符号确定），所以每个区间内恰有一个零点，共两个零点。
公式：零点定理
提示：结合单调性确保零点唯一性。
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