kaoyan1basic 高等数学 第176题
📝 题目
### 第176题 设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 上的一个原函数，则 $f(x)+F(x)$ 在 $(a, b)$ 内 （A）可导． （B）连续． （C）存在原函数． （D）是初等函数．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则 $F'(x)=f(x)$，$f(x)$ 不一定可导，但 $f(x)+F(x)$ 可导（因为 $F(x)$ 可导，$f(x)$ 是 $F'(x)$，不一定可导，但和函数可导？实际上 $f(x)$ 不一定可导，但 $F(x)$ 可导，$f(x)$ 不一定可导，但 $f(x)+F(x)$ 不一定可导，但原函数存在定理保证 $f(x)$ 有原函数，则 $f(x)+F(x)$ 也有原函数。 步骤2：$f(x)$ 在 $(a,b)$ 上存在原函数，则 $f(x)+F(x)$ 的原函数为 $\int f(x)dx + \int F(x)dx$，故存在原函数。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解原函数定义
由题意，F(x)是f(x)在(a,b)上的一个原函数，即F'(x)=f(x)对任意x∈(a,b)成立。
公式：F'(x)=f(x)
提示：原函数定义是基础，注意可导性。
步骤 2/4
目标：分析选项A和B
f(x)不一定可导，但F(x)可导，因此f(x)+F(x)不一定可导（例如f(x)不可导时），但f(x)存在原函数，故f(x)连续？实际上f(x)不一定连续，但原函数存在定理指出，若f(x)有原函数，则f(x)不一定连续，但f(x)+F(x)可能连续？但选项A和B不一定成立。
提示：注意原函数存在不一定推出被积函数连续。
步骤 3/4
目标：分析选项C
由于f(x)存在原函数，设G(x)是f(x)的一个原函数，则G'(x)=f(x)。考虑函数H(x)=G(x)+∫F(x)dx，则H'(x)=f(x)+F(x)，因此f(x)+F(x)存在原函数。
公式：H'(x)=f(x)+F(x)
提示：利用原函数的线性组合仍是原函数。
步骤 4/4
目标：分析选项D
f(x)不一定为初等函数，因此f(x)+F(x)也不一定是初等函数。
提示：初等函数是有限次运算，原函数可能不是初等函数。
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