kaoyan1basic 高等数学 第177题
📝 题目
### 第177题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin \frac{1}{x}, x \neq 0 \\ 1, \quad x=0\end{array}, F(x)=\int_{-1}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right.$ ，则 $F(x)$ （A）在 $(-1,1)$ 为无界函数． （B）在 $(-1,1)$ 为连续有界函数． （C）在 $(-1,1)$ 有间断点 $x=0$ ． （D）在 $[-1,1]$ 不可积．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有界且只有一个间断点 $x=0$，故可积，$F(x)$ 连续。 步骤2：$F(x)$ 在 $(-1,1)$ 上有界（因为 $f$ 有界，积分区间有限）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断f(x)的可积性
f(x)在[-1,1]上有界，且只有一个间断点x=0，根据可积的充分条件，f(x)在[-1,1]上可积。
提示：有界且只有有限个间断点的函数可积。
步骤 2/4
目标：判断F(x)的连续性
由于f(x)在[-1,1]上可积，变上限积分函数F(x)=∫_{-1}^{x} f(t)dt在[-1,1]上连续。
提示：变上限积分函数在被积函数可积时连续。
步骤 3/4
目标：判断F(x)的有界性
f(x)在[-1,1]上有界，设|f(x)|≤M，则对任意x∈(-1,1)，|F(x)|≤∫_{-1}^{x} |f(t)|dt ≤ M*(x+1) ≤ 2M，故F(x)在(-1,1)上有界。
提示：有界函数的积分在有限区间上有界。
步骤 4/4
目标：综合判断选项
F(x)在(-1,1)上连续且有界，故选项B正确。
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