kaoyan1basic 高等数学 第178题
📝 题目
### 第178题 设 $f(x)$ 一阶可导，$f(x)>0, f^{\prime}(x)>0$ ，则当 $\Delta x>0$ 时 （A） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t>f(x) \Delta x>0$ ． （B） $\int_{x}^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：由 $f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增，当 $t\in[x,x+\Delta x]$ 时，$f(t)\ge f(x)$。 步骤2：$\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt \ge f(x)\Delta x >0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：利用单调性比较被积函数与端点值
由 f'(x)>0 知 f(x) 单调递增，因此当 t∈[x, x+Δx] 时，有 f(t) ≥ f(x)。
公式：f(t) ≥ f(x) for t∈[x, x+Δx]
提示：注意 Δx>0，积分区间长度为正。
步骤 2/2
目标：利用积分不等式比较积分值与矩形面积
对不等式 f(t) ≥ f(x) 在区间 [x, x+Δx] 上积分，得 ∫_x^{x+Δx} f(t) dt ≥ ∫_x^{x+Δx} f(x) dt = f(x)Δx。又 f(x)>0，Δx>0，故 f(x)Δx>0。
公式：∫_x^{x+Δx} f(t) dt ≥ f(x)Δx > 0
提示：积分保号性：若被积函数非负，则积分非负。
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