kaoyan1basic 高等数学 第179题
📝 题目
### 第179题 考察下列叙述： （1）设 $f^{2}(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （2）设 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，则 $|f(x)|$ 在 $x=x_{0}$ 连续． （3）设 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 有界，只有有限个间断点，则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 可积，即在 $[a, b]$ 存在定积分． 我们可知 （A）只有（1），（2）正确． （B）只有（2），（3）正确． （C）只有（2），（4）正确． （D）只有（3），（4）正确．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：（1）反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\ge0\\-1,&x<0\end{cases}$，$f^2(x)=1$ 连续但 $f(x)$ 不连续。 步骤2：（2）正确，由连续函数的绝对值连续性。 步骤3：（3）反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\-1,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$，$|f(x)|=1$ 可积但 $f(x)$ 不可积。 步骤4：（4）正确，有界且有限个间断点可积，其绝对值也可积。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断叙述（1）的正确性
考虑反例：f(x) = 1 当 x≥0，f(x) = -1 当 x<0。则 f^2(x)=1 在 x=0 连续，但 f(x) 在 x=0 不连续。因此（1）错误。
提示：注意连续函数的平方连续不能推出原函数连续，因为平方丢失了符号信息。
步骤 2/4
目标：判断叙述（2）的正确性
由连续函数的性质：若 f(x) 在 x0 连续，则 |f(x)| 也在 x0 连续。因为绝对值函数是连续函数，复合函数连续。所以（2）正确。
提示：连续函数的绝对值仍连续。
步骤 3/4
目标：判断叙述（3）的正确性
考虑反例：f(x) = 1 当 x 为有理数，f(x) = -1 当 x 为无理数。则 |f(x)|=1 在 [a,b] 上可积，但 f(x) 是狄利克雷函数，不可积。因此（3）错误。
提示：绝对值的可积性不能推出原函数的可积性。
步骤 4/4
目标：判断叙述（4）的正确性
f(x) 在 [a,b] 有界且只有有限个间断点，则 f(x) 可积。而 |f(x)| 的间断点不超过 f(x) 的间断点，且 |f(x)| 也有界，故 |f(x)| 也可积。所以（4）正确。
提示：有界且有限个间断点的函数可积，其绝对值也具有相同性质。
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