kaoyan1basic 高等数学 第180题
📝 题目
### 第180题 下列函数在指定区间上不存在定积分的是 （A）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$ ． （B）$f(x)=\operatorname{sgn} x=\left\{\begin{array}{cl}1, & x>0 \\ 0, & x=0, x \in[a, b] \text { ．} \\ -1, & x<0\end{array}\right.$ （C）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\tan x, & x \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \\ 0, & x= \pm \frac{\pi}{2}\end{array}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\right.$ ． （D）$\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0\end{array}, x \in[-1,1]\right.$.
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$f(x)=\tan x$ 在 $[-\pi/2,\pi/2]$ 上无界（$x\to\pm\pi/2$ 时趋于无穷），故不可积。 步骤2：其他选项函数均有界且只有有限个间断点，可积。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断每个选项函数在指定区间上是否有界且只有有限个间断点
根据定积分存在的充分条件：若函数在闭区间上有界且只有有限个间断点，则函数可积。逐一分析选项。
提示：注意无界函数不可积，即使只有有限个间断点。
步骤 2/6
目标：分析选项A
f(x)=sin(1/x) (x≠0), f(0)=1，在[-1,1]上有界（|f(x)|≤1），且只有x=0一个间断点，故可积。
提示：sin(1/x)在0附近振荡，但有界。
步骤 3/6
目标：分析选项B
f(x)=sgn x在[a,b]上有界（|f(x)|≤1），且只有x=0一个间断点（若0∈[a,b]），故可积。
提示：符号函数有界，间断点有限。
步骤 4/6
目标：分析选项C
f(x)=tan x在(-π/2,π/2)上无界，因为x→±π/2时tan x→∞，故在[-π/2,π/2]上不可积。
提示：无界函数一定不可积。
步骤 5/6
目标：分析选项D
f(x)=sin x/x (x≠0), f(0)=1，在[-1,1]上有界（x→0时极限为1），且只有x=0一个间断点，故可积。
提示：可去间断点不影响可积性。
步骤 6/6
目标：得出结论
只有选项C的函数无界，因此不存在定积分。
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