kaoyan1basic 高等数学 第181题
📝 题目
### 第181题 下列命题中有一个正确的是 （A）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$f(x) \geqslant 0, \not \equiv 0$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0$ ． （B）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，$g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积，则 $f(x)+g(x)$ 在 $[a, b]$ 不可积． （C）设 $f^{2}(x)$ 在 $[a, b]$ 可积，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 可积． （D）设 $x_{0} \in(a, b), f(x)$ 在 $[a, b] /\left\{x_{0}\right\}$ 连续且有界，$x=x_{0}$ 是 $f(x)$ 的间断点，则 $F(x)= \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 在 $x=x_{0}$ 不可导．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：A反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x=0\\0,&x\neq0\end{cases}$ 在 $[0,1]$ 可积且非负不恒为零，但积分为0。 步骤2：B正确，若 $f+g$ 可积，则 $g=(f+g)-f$ 可积，矛盾。 步骤3：C反例：$f(x)=\begin{cases}1,&x\in\mathbb{Q}\\-1,&x\notin\mathbb{Q}\end{cases}$，$f^2=1$ 可积但 $f$ 不可积。 步骤4：D反例：$f(x)=\begin{cases}0,&x\neq x_0\\1,&x=x_0\end{cases}$，$F(x)$ 在 $x_0$ 可导。 **难度**：★★★☆☆