kaoyan1basic 高等数学 第182题
📝 题目
### 第182题 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，则下列结论中正确的个数为 （1）$f(x)$ 在 $[a, b]$ 的任意子区间 $[\alpha, \beta]$ 上 $\int_{\alpha}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(\forall x \in[a, b])$ ． （2）$f(x) \geqslant 0(x \in[a, b])$ ，又 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ ，则 $f(x)=0(x \in[a, b])$ ． （3）$[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ ，则 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geqslant \int_{a}^{\beta} f(x) \mathrm{d} x$ ． （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 下述结论不正确的是
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：对于(1)，若$f(x)$在$[a,b]$连续，且在任何子区间上积分为0，则$f(x)\equiv0$，正确。 步骤2：对于(2)，若$f(x)\ge0$且$\int_a^b f(x)dx=0$，由连续性得$f(x)\equiv0$，正确。 步骤3：对于(3)，反例：$f(x)=-1$，$[a,b]=[0,1]$，$\int_0^1(-1)dx=-1$，$\int_0^{0.5}(-1)dx=-0.5$，则$-1\ge -0.5$不成立，错误。 故正确个数为2。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断结论(1)的正确性
若f(x)在[a,b]连续，且在任何子区间上积分为0，则f(x)≡0。反证法：假设存在x0使得f(x0)≠0，由连续性存在邻域使f(x)同号且积分非零，矛盾。故(1)正确。
提示：利用连续函数的局部保号性
步骤 2/4
目标：判断结论(2)的正确性
若f(x)≥0且∫_a^b f(x)dx=0，由连续性得f(x)≡0。反证法：若存在x0使f(x0)>0，则存在邻域积分>0，矛盾。故(2)正确。
提示：非负连续函数积分为零则函数恒为零
步骤 3/4
目标：判断结论(3)的正确性
结论(3)不一定成立。反例：取f(x)=-1，[a,b]=[0,1]，则∫_0^1(-1)dx=-1，∫_0^{0.5}(-1)dx=-0.5，但-1≥-0.5不成立。故(3)错误。
提示：注意积分不等式方向与函数符号有关
步骤 4/4
目标：统计正确个数
正确结论为(1)和(2)，共2个，故选C。
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