kaoyan1basic 高等数学 第184题
📝 题目
### 第184题 设 $\displaystyle M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(1+x)^{2}}{1+x^{2}} \mathrm{~d} x, N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1+x}{\mathrm{e}^{x}} \mathrm{~d} x, K=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(1+\sqrt{\cos x}) \mathrm{d} x$ ，则 （A）$M>N>K$ ． （B）$M>K>N$ ． （C）$K>M>N$ ． （D）$K>N>M$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：计算$\displaystyle M=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\frac{(1+x)^2}{1+x^2}dx=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(1+\frac{2x}{1+x^2}\right)dx=\pi$（奇函数部分积分为0）。 步骤2：$N=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+x)e^{-x}dx$，被积函数非奇非偶，但$e^{-x}>0$，$1+x$在区间内变号，积分值小于$\pi$。 步骤3：$K=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(1+\sqrt{\cos x})dx=\pi+2\int_0^{\pi/2}\sqrt{\cos x}dx>\pi$。 故$K>M>N$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：计算积分 M
将被积函数展开：\(\frac{(1+x)^2}{1+x^2} = \frac{1+2x+x^2}{1+x^2} = 1 + \frac{2x}{1+x^2}\)。则 \(M = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{2x}{1+x^2} \, dx\)。第一部分为 \(\pi\)，第二部分被积函数为奇函数，在对称区间积分为0，故 \(M = \pi\)。
公式：奇函数在对称区间积分为0
提示：注意分子展开后分离常数项和奇函数项。
步骤 2/4
目标：计算积分 N
N = \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+x)e^{-x} dx\)。被积函数非奇非偶，但 \(e^{-x} > 0\)，\(1+x\) 在区间内变号。通过比较或直接计算可知 N < \(\pi\)。
公式：无
提示：可估算：在 \([-\pi/2, \pi/2]\) 上，\(e^{-x} \ge e^{-\pi/2} \approx 0.207\)，但 \(1+x\) 有正有负，积分值小于 \(\pi\)。
步骤 3/4
目标：计算积分 K
K = \(\int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+\sqrt{\cos x}) dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} 1 \, dx + \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sqrt{\cos x} \, dx\)。第一部分为 \(\pi\)，第二部分被积函数为偶函数，故 \(K = \pi + 2\int_0^{\pi/2} \sqrt{\cos x} \, dx\)。由于 \(\sqrt{\cos x} > 0\)，积分大于0，所以 \(K > \pi\)。
公式：偶函数在对称区间积分为2倍半区间积分
提示：注意 \(\sqrt{\cos x}\) 在 \([0, \pi/2]\) 上非负。
步骤 4/4
目标：比较大小
由以上得 \(M = \pi\)，\(N < \pi\)，\(K > \pi\)，故 \(K > M > N\)，对应选项B。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。