kaoyan1basic 高等数学 第185题

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📝 题目

### 第185题 设 $\displaystyle I_{1}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x, I_{2}=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则 （A）$I_{1}<1

💡 答案解析

**答案**：A **解析**： 步骤1：当$x\in(0,\pi/2)$时，$\sin x1$。 步骤2：由定积分保序性，$\displaystyle I_1=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x}{x}dx<\int_0^{\pi/2}1dx=\frac{\pi}{2}$，但需比较与1的大小：由于$\displaystyle \frac{\sin x}{x}$在$(0,\pi/2)$递减且$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1$，故$I_1<1$。 步骤3：$\displaystyle I_2=\int_0^{\pi/2}\frac{x}{\sin x}dx>\int_0^{\pi/2}1dx=\frac{\pi}{2}>1$。 故$I_1<1

📋 详细解题步骤

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