kaoyan1basic 高等数学 第187题
📝 题目
### 第187题 I=$\int_{0}^{\pi} x \sqrt{\cos ^{2} x-\cos ^{4} x} \mathrm{~d} x=$$ （A）$\pi$ ． （B）$\frac{\pi}{2}$ ． （C）$\frac{\pi}{3}$ ． （D）$\frac{\pi}{4}$ ．$
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\sqrt{\cos^2x-\cos^4x}=|\cos x|\sqrt{1-\cos^2x}=|\cos x||\sin x|$。 步骤2：在$[0,\pi]$上，$\sin x\ge0$，故原式$=\int_0^\pi x|\cos x|\sin x dx$。 步骤3：由对称性，$\displaystyle \int_0^\pi x|\cos x|\sin x dx=\frac{\pi}{2}\int_0^\pi|\cos x|\sin x dx=\pi\int_0^{\pi/2}\cos x\sin x dx$。 步骤4：$\displaystyle \int_0^{\pi/2}\cos x\sin x dx=\frac{1}{2}$，故$I=\pi$。 **难度**：★★★☆☆
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