kaoyan1basic 高等数学 第188题
📝 题目
### 第188题 I=$\int_{0}^{1} \frac{x}{\sqrt{x(1-x)}} \mathrm{d} x=$$ （A）$\pi$ ． （B）$\frac{\pi}{2}$ ． （C）$\frac{\pi}{4}$ ． （D）$\frac{\pi}{8}$ ． （V）纠错笔记$
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：$\displaystyle I=\int_0^1\frac{x}{\sqrt{x(1-x)}}dx=\int_0^1\sqrt{\frac{x}{1-x}}dx$。 步骤2：令$x=\sin^2t$，则$dx=2\sin t\cos t dt$，$x\in[0,1]$对应$t\in[0,\pi/2]$。 步骤3：$\displaystyle I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin^2t}{\cos t}\cdot2\sin t\cos t dt=2\int_0^{\pi/2}\sin^3t dt=2\cdot\frac{2}{3}=\frac{4}{3}$？重新计算：$\displaystyle \sqrt{\frac{x}{1-x}}=\frac{\sin t}{\cos t}$，$dx=2\sin t\cos t dt$，积分$\displaystyle =\int_0^{\pi/2}\frac{\sin t}{\cos t}\cdot2\sin t\cos t dt=2\int_0^{\pi/2}\sin^2t dt=2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简被积函数
将原积分 I = ∫₀¹ x/√(x(1-x)) dx 化简为 ∫₀¹ √(x/(1-x)) dx
公式：x/√(x(1-x)) = √(x/(1-x))
提示：注意 x>0 时，x/√(x(1-x)) = √(x²/(x(1-x))) = √(x/(1-x))
步骤 2/4
目标：三角换元
令 x = sin²t，则 dx = 2 sin t cos t dt，当 x∈[0,1] 时，t∈[0,π/2]
公式：x = sin²t, dx = 2 sin t cos t dt
提示：常用三角换元：被积函数含 √(x/(1-x)) 时，可令 x = sin²t
步骤 3/4
目标：代入换元并化简
代入得 I = ∫₀^{π/2} √(sin²t/(1-sin²t)) · 2 sin t cos t dt = ∫₀^{π/2} (sin t / cos t) · 2 sin t cos t dt = 2 ∫₀^{π/2} sin²t dt
公式：√(x/(1-x)) = sin t / cos t, 积分变为 2∫₀^{π/2} sin²t dt
提示：注意 cos t > 0 在 [0,π/2] 上，所以 √(cos²t)=cos t
步骤 4/4
目标：计算积分
利用公式 ∫₀^{π/2} sin²t dt = π/4，所以 I = 2 × π/4 = π/2
公式：∫₀^{π/2} sin²t dt = π/4
提示：常用公式：∫₀^{π/2} sin²t dt = ∫₀^{π/2} cos²t dt = π/4
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