kaoyan1basic 高等数学 第189题
📝 题目
### 第189题 积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{x^{4}}{\sqrt{1-x}} \mathrm{~d} x=$ （A）$\displaystyle \frac{156}{315}$ ． （B）$\displaystyle \frac{256}{315}$ ． （C）$\displaystyle \frac{198}{315}$ ． （D）$\displaystyle \frac{208}{315}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：令$t=\sqrt{1-x}$，则$x=1-t^2$，$dx=-2t dt$，$x\in[0,1]$对应$t\in[1,0]$。 步骤2：$\displaystyle I=\int_1^0\frac{(1-t^2)^4}{t}(-2t)dt=2\int_0^1(1-t^2)^4 dt$。 步骤3：展开$(1-t^2)^4=1-4t^2+6t^4-4t^6+t^8$，逐项积分得$\displaystyle 2\left(1-\frac{4}{3}+\frac{6}{5}-\frac{4}{7}+\frac{1}{9}\right)=2\cdot\frac{128}{315}=\frac{256}{315}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：换元简化积分
令 t = √(1-x)，则 x = 1 - t^2，dx = -2t dt。当 x=0 时 t=1，x=1 时 t=0。
公式：t = √(1-x), x = 1 - t^2, dx = -2t dt
提示：注意积分限的变化，从 x∈[0,1] 变为 t∈[1,0]。
步骤 2/3
目标：代入并化简积分
I = ∫_1^0 ( (1-t^2)^4 / t ) * (-2t) dt = 2 ∫_0^1 (1-t^2)^4 dt
公式：I = 2 ∫_0^1 (1-t^2)^4 dt
提示：负号与积分限交换抵消，得到正积分。
步骤 3/3
目标：展开被积函数并逐项积分
展开 (1-t^2)^4 = 1 - 4t^2 + 6t^4 - 4t^6 + t^8，逐项积分得：∫_0^1 1 dt = 1，∫_0^1 t^2 dt = 1/3，∫_0^1 t^4 dt = 1/5，∫_0^1 t^6 dt = 1/7，∫_0^1 t^8 dt = 1/9。因此 I = 2 * (1 - 4/3 + 6/5 - 4/7 + 1/9)。
公式：∫_0^1 t^n dt = 1/(n+1)
提示：计算分数时注意通分，最终结果为 2 * 128/315 = 256/315。
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