kaoyan1basic 高等数学 第190题
📝 题目
### 第190题 设 $n, m$ 为非负整数，$I_{n, m}=\int_{0}^{1} x^{n} \ln ^{m} x \mathrm{~d} x$ 是 （A）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{n} n!}{(n+1)^{m}}$ ． （B）定积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． （C）反常积分且发散． （D）反常积分且值为 $\displaystyle \frac{(-1)^{m} m!}{(n+1)^{m+1}}$ ． ## －纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$x=0$是被积函数的瑕点，但$\lim_{x\to0^+}x^n\ln^m x=0$（$n\ge0$），故为反常积分且收敛。 步骤2：令$t=-\ln x$，则$x=e^{-t}$，$dx=-e^{-t}dt$，$x\in[0,1]$对应$t\in[+\infty,0]$。 步骤3：$I_{n,m}=\int_0^1 x^n\ln^m x dx=\int_{+\infty}^0 e^{-(n+1)t}(-t)^m(-e^{-t})dt=(-1)^m\int_0^{+\infty}t^m e^{-(n+1)t}dt$。 步骤4：$\displaystyle \int_0^{+\infty}t^m e^{-(n+1)t}dt=\frac{m!}{(n+1)^{m+1}}$，故$\displaystyle I_{n,m}=\frac{(-1)^m m!}{(n+1)^{m+1}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断积分类型
由于x=0是被积函数的瑕点，但lim_{x→0+} x^n ln^m x = 0（n≥0），故该积分为反常积分且收敛。
提示：注意x=0处被积函数无定义，但极限存在，因此是反常积分。
步骤 2/5
目标：变量代换
令t = -ln x，则x = e^{-t}，dx = -e^{-t} dt。当x从0到1时，t从+∞到0。
公式：x = e^{-t}, dx = -e^{-t} dt
提示：代换后注意积分限的变化。
步骤 3/5
目标：化简积分表达式
代入得 I_{n,m} = ∫_0^1 x^n ln^m x dx = ∫_{+∞}^0 e^{-(n+1)t} (-t)^m (-e^{-t}) dt = (-1)^m ∫_0^{+∞} t^m e^{-(n+1)t} dt。
公式：I_{n,m} = (-1)^m ∫_0^{+∞} t^m e^{-(n+1)t} dt
提示：注意符号处理，最终积分限从0到+∞。
步骤 4/5
目标：计算Gamma积分
∫_0^{+∞} t^m e^{-(n+1)t} dt = m! / (n+1)^{m+1}，这是Gamma函数的特殊值。
公式：∫_0^{+∞} t^m e^{-at} dt = m! / a^{m+1} (a>0)
提示：利用Gamma函数或分部积分法可证。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此 I_{n,m} = (-1)^m * m! / (n+1)^{m+1}。
公式：I_{n,m} = (-1)^m m! / (n+1)^{m+1}
提示：注意结果与选项D一致。
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